Question

15．某商店經(jīng)銷(xiāo)一種健身球，已知這種健身球的成本價(jià)為每個(gè)20元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種健身球每天的銷(xiāo)售量y（個(gè)）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）有如下關(guān)系：y=-2x+80（20≤x≤40）．設(shè)這種健身球每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元．
（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該種健身球銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
（3）如果物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種健身球的銷(xiāo)售單價(jià)不高于28元，該商店銷(xiāo)售這種健身球每天要獲得150元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

Answer 1

分析 （1）用每件的利潤(rùn)（x-20）乘以銷(xiāo)售量即可得到每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)，即w=（x-20）y=（x-20）（-2x+80），然后化為一般式即可；
（2）把（1）中的解析式進(jìn)行配方得到頂點(diǎn)式y(tǒng)=-2（x-30）²+200，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解；
（3）求函數(shù)值為150所對(duì)應(yīng)的自變量的值，即解方程-2（x-30）²+200=150，然后利用銷(xiāo)售價(jià)不高于每件28元確定x的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意可得：w=（x-20）•y
=（x-20）（-2x+80）
=-2x²+120x-1600，
w與x的函數(shù)關(guān)系式為：w=-2x²+120x-1600；

（2）根據(jù)題意可得：w=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，
∵-2＜0，∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值．w最大值為200．
答：銷(xiāo)售單價(jià)定為30元時(shí)，每天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)200元．

（3）當(dāng)w=150時(shí)，可得方程-2（x-30）²+200=150．
解得 x₁=25，x₂=35．
∵35＞28，∴x₂=35不符合題意，應(yīng)舍去．
答：該商店銷(xiāo)售這種健身球每天想要獲得150元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)定為25元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題，在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷(xiāo)量等問(wèn)題．解此類(lèi)題的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．