Question

如圖，對稱軸為直線x=一的拋物線經(jīng)過點A(-6，0)和點B(0，4)．

(1)求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；

(2)設(shè)點E(x，y)是拋物線上的一個動點，且位于第三象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求□OEAF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

    ①當(dāng)□OEAF的面積為24時，請判斷□OEAF是否為菱形?

②是否存在點E，使□OEAF為正方形?若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) y=(x+) ²-，頂點坐標(biāo)為(-，-)(2) ①是菱形②不存在，理由見解析

【解析】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+)²+k(k≠0)，           

則依題意得：

 解之得：

即：y=(x+) ²-，頂點坐標(biāo)為(-，-)

(2) ∵點E(x，y)在拋物線上，且位于第三象限．

∴S=2S_△OAE=2××0A×(-y)

   =-6y   

   =-4(x+)²+25(-6<x<-1)

①  當(dāng)S=24時，即-4(x+)²+25=24，

解之得：x₁=-3,x₂=-4

∴點E為(-3，-4)或(-4，-4)

當(dāng)點E為(-3，-4)時，滿足OE=AE，故□OEAF是菱形；當(dāng)點E為(-4，-4)時，不滿足OE=AE，故□OEAF不是菱形．                                       

②當(dāng)0E⊥AE且OE=AE時，□OEAF是正方形，此時點E的坐標(biāo)為(-3，-3)，而點E不在拋物線上，故不存在點E，使□OEAF為正方形。                

（1）根據(jù)對稱軸設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+7/2 ）²+k，將A、B兩點坐標(biāo)代入，列方程組求a、k的值；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知S=2S_△OAE，△OAE的底為AO，高為E點縱坐標(biāo)的絕對值，由此列出函數(shù)關(guān)系式，①當(dāng)S=24時，由函數(shù)關(guān)系式得出方程，求x的值，再逐一判斷；②不存在，只有當(dāng)0E⊥AE且OE=AE時，□OEAF是正方形，由此求出E點坐標(biāo)，判斷E點坐標(biāo)是否在拋物線上．