Question

【題目】已知AB∥CD，AM平分∠BAP，CM平分∠PCD．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P、M在直線AC同側(cè)，∠AMC＝60°時(shí)，求∠APC的度數(shù)；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P、M在直線AC異側(cè)時(shí)，直接寫出∠APC與∠AMC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）∠APC＝120°；（2）∠APC＝360°﹣2∠AMC．

【解析】

(1)延長(zhǎng)AP交CD于點(diǎn)Q, 連接MP并延長(zhǎng)到點(diǎn)R,根據(jù)角度關(guān)系推算即可.

(2) 過(guò)P作PQ∥AB于Q,MN∥AB于N,根據(jù)角度關(guān)系推算即可.

解：(1)如圖1,延長(zhǎng)AP交CD于點(diǎn)Q,則可得到∠BAP＝∠AQC,

則∠APC＝∠BAP+∠DCP＝2(∠MAP+∠MCP),

連接MP并延長(zhǎng)到點(diǎn)R,則可得∠APR＝∠MAP+∠AMP,∠CPR＝∠MCP+∠CMP,

所以∠APC＝∠AMC+∠MAP+∠MCP,

所以∠APC＝∠AMC+∠APC,

所以∠APC＝2∠AMC＝120°．

(2)如圖2,過(guò)P作PQ∥AB于Q,MN∥AB于N,

則AB∥PQ∥MN∥CD,

∴∠APQ＝180°﹣∠BAP,∠CPQ＝180°﹣∠DCP,∠AMN＝∠BAM,∠CMN＝∠DCM,

∵AM平分∠BAP,CM平分∠PCD,

∴∠BAP＝2∠BAM,∠DCP＝2∠DCM,

∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝180°﹣∠BAP+180°﹣∠DCP＝360°﹣2(∠BAM+∠DCM)＝360°﹣2(∠BAM+∠DCM)＝360°﹣2∠AMC,即∠APC＝360°﹣2∠AMC．