【題目】用一條直線分割一個三角形,如果能分割出等腰三角形,那么就稱這條直線為該三角形的一條等腰分割線.在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.
(1)如圖(1),若 O 為 AB 的中點,則直線 OC_____△ABC 的等腰分割線(填“是”或“不是”)
(2)如圖(2)已知△ABC 的一條等腰分割線 BP 交邊 AC 于點 P,且 PB=PA,請求出 CP 的長度.
(3)如圖(3),在△ABC 中,點 Q 是邊 AB 上的一點,如果直線 CQ 是△ABC 的等腰分割線,求線段BQ 的長度等于 ______.(直接寫出答案).
【答案】(1)是;(2) ;(3)5 或 2 或 6 或
【解析】
(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論;
(2)設(shè) CP=x,則 PA=PB=8﹣x,根據(jù)勾股定理列方程得:62+x2=(8﹣x)2,求解即可;
(3)分情況進行討論:
①當(dāng)△ACQ 是等腰三角形時,分三種情況討論;
②當(dāng)△BCQ 是等腰三角形時,同理分三種情況討論.
解:(1)是,如圖(1),
∵∠ACB=90°,O 為 AB 中點,
∴在Rt△ACB中,OC=AB=AO=BO,
∴可得到等腰△AOC和等腰△BOC,
∴直線OC是△ABC的等腰分割線,
故答案為:是;
(2)由題可知PA=PB,BC=6,
設(shè)CP=x,則PA=PB=8﹣x,
在Rt△BPC 中,BC2+PC2=PB2,
∴62+x2=(8﹣x)2,
解得:x=,即:CP=;
(3)BQ=2或5或或6,
①若△ACQ 為等腰三角形,
如圖(3),當(dāng) AC=AQ 時,AQ=8,BQ=AB﹣AQ=2,
如圖(4),當(dāng)QC=QA 時,Q為AB中點,BQ=AB=5,
當(dāng)CA=CQ 時,Q不在線段AB上,舍去;
②若△BCQ 為等腰三角形.
如圖(5),當(dāng)CQ=CB時,過C作CM⊥AB于M,此時M為BQ的中點,
∵S△ABC=BCAC=ABCM,
∴×6×8=×10CM
解得:CM=.
在Rt△CMB中,BM==,
∴BQ=2QM=,
如圖(6),當(dāng)BC=BQ時,BQ=BC=6.
如圖(7),當(dāng)QC=QB時,Q為AB中點,BQ=AB=5.
綜上,BQ=2或5或或6.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線經(jīng)過的三個頂點,已知點,,的直角頂點C在y軸上.
如圖1,點D是拋物線第一象限內(nèi)上的一個動點.
并直接寫出點C的坐標,并求拋物線的解析式;
當(dāng)動點D的坐標是多少時,四邊形ABCD的面積最大?最大面積是多少?
如圖2,長度為1個單位長度的線段MN在的邊AB上運動,過M,N分別作AB的垂線交直角邊于P,Q兩點.
在線段MN運動過程中,若四邊形MNQP是矩形,求點M的坐標;
在線段MN運動過程中,若以C、P、Q為頂點的三角形與相似,直接寫出點M的坐標.
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【題目】下列條件中能判斷△ABC為直角三角形的是( )
A.∠A +∠B = ∠CB.∠A = ∠B = ∠C
C.∠A-∠B = 90°D.∠A = ∠B = 3∠C
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【題目】如圖,AB垂直平分線段CD(AB>CD),點E是線段CD延長線上的一點,且BE=AB,連接AC,過點D作DG⊥AC于點G,交AE的延長線與點F.
(1)若∠CAB=α,則∠AFG= (用α的代數(shù)式表示);
(2)線段AC與線段DF相等嗎?為什么?
(3)若CD=6,求EF的長.
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【題目】如圖,在中,,,,E為斜邊AB的中點,點P是射線BC上的一個動點,連接AP、PE,將沿著邊PE折疊,折疊后得到,當(dāng)折疊后與的重疊部分的面積恰好為面積的四分之一,則此時BP的長為______.
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【題目】在△ABC 中,AB=10,AC=,BC 邊上的高 AD=6,則另一邊 BC 等于( )
A.10B.8C.6 或 10D.8 或 10
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【題目】如圖,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,那么,按照圖中所標注的數(shù)據(jù),圖中實線所圍成的圖形面積為( ).
A.40.5B.48.5C.50D.52.5
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線的頂點P在直線上點P不與點B重合,與y軸交于點C,以BC為邊作矩形BCDE,且,點P、D在y軸的同側(cè).
填空:點B的坐標為______,點P的坐標為______,______用含m的代數(shù)式表示;
當(dāng)點P在第一象限時,求矩形BCDE的面積S與m的函數(shù)表達式;
當(dāng)點P在直線上任意移動時,若矩形BCDE有兩個頂點落在拋物線上,請直接寫出符合條件的m的值.
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