某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件，已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9kg，乙種原料3kg，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品需用甲種原料4kg，乙種原料10kg，可獲利潤1200元．

(1)按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請你設(shè)計(jì)出來．

(2)哪種方案利潤最高？

有一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大3，把個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)之后所得的新數(shù)與原數(shù)之和介于55和99之間，求這個(gè)兩位數(shù)．

小華看著電視里的舞蹈節(jié)目：七個(gè)身穿不同民族服裝的舞蹈演員正在面對觀眾進(jìn)行隊(duì)列變換，他陷入了沉思：這7個(gè)演員面對觀眾一共會有幾種隊(duì)列變換呢？……為了解決這一問題，他是這樣思考和探索的：

①若只有一個(gè)演員A，那就只有隊(duì)列變換A，共1種；

②若有兩個(gè)演員A、B，那就有隊(duì)列變換：AB和BA，共2種；

③若有三個(gè)演員A、B、C，那就有隊(duì)列變換：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6種；

④若有四個(gè)演員A、B、C、D，那就有隊(duì)列變換(小華把這四個(gè)字母在紙上不停的變換順序地排列著、寫著……數(shù)數(shù)看，哇！)有24種，變化如此之快呀．如有五個(gè)、六個(gè)、七個(gè)演員呢？看來不可一一的寫下來數(shù)，還是找些規(guī)律吧，否則就……，還是智取吧……

列個(gè)表格試試看，記得書上有這樣的例子，老師也曾示范過，它能更加清楚地反映其中的數(shù)字規(guī)律呢：

(1)你知道這7個(gè)舞蹈演員面對觀眾時(shí)一共有幾種隊(duì)列變換嗎？說說你的想法．

(2)請你先仔細(xì)體會小華的解題策略，然后再探索：2²⁰的末位數(shù)字是多少？說說你是怎樣想的．

觀察下列等式9－1＝8　16－4＝12　25－9＝16　36－16＝20這些等式反映自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n(n≥1)表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律．

若100(a－b)²＋(2k＋4)(b²－a²)＋400(a＋b)²是完全平方式，求k的值．

已知x³＋x²＋x＋1＝0，求1＋x＋x²＋x³＋…＋x²⁰⁰⁰的值．

觀察下列各式：15²＝225；25²＝625；35²＝1225；…；個(gè)位數(shù)字是5的兩位數(shù)平方后，末尾的兩個(gè)數(shù)有什么規(guī)律？為什么？

　　有些自然數(shù)可以寫成兩個(gè)平方數(shù)(整數(shù)的平方)的和，例如：5＝1²＋2²，13＝2²＋3²，10＝1²＋3²，等等．

　　有趣的是這些數(shù)的積也可以寫成兩個(gè)平方數(shù)的和，例如5×13＝65＝1²＋8²＝4²＋7²，5×10＝50＝1²＋7²＝5²＋5²，等等．

　　一般地，兩個(gè)平方和a²＋b²與c²＋d²的積一定也是這種形式的平方和，為什么呢？

　　道理很簡單：我們做乘法(a²＋b²)(c²＋d²)＝a²c²＋a²d²＋b²c²＋b²d²…①然后將上式右邊加上2abcd，再減去2abcd，變?yōu)閍²c²＋2abcd＋b²d²＋a²d²－2abcd＋b²c²＝(ac＋bd)²＋(ad－bc)²，所以(a²＋b²)(c²＋d²)＝(ac＋bd)²＋(ad－bc)²．

　　例如(1²＋2²)(2²＋3²)＝(1×2＋2×3)²＋(1×3－2×2)²，這就是上面的5×13＝1²＋8²，在①式右邊加上2abcd，再減去2abcd是為了配成完全平方，這種“配方法”是很有用的．

請用類似方法將130寫成兩個(gè)平方數(shù)的和．

已知a²＋b²＋4a－6b＋13＝0．求a、b的值．

(1－)(1－)(1－)…(1－)．