如圖所示，⊙O₁和⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙O₂的弦BC經(jīng)過(guò)⊙O₁上一點(diǎn)D，AB、AC分別交⊙O₁于E、F，AD平分∠BAC．

(1)求證：BC是⊙O₁的切線；

(2)若⊙O₁與⊙O₂的半徑之比等于2∶3，BD=2，DF=，求AB和AD的長(zhǎng)．

如圖所示，⊙O₁和⊙O₂外切于點(diǎn)A，BC是⊙O₁和⊙O₂的外公切線，B、C為切點(diǎn)．AT為內(nèi)公切線，AT與BC相交于點(diǎn)T．延長(zhǎng)BA、CA，分別與兩圓交于點(diǎn)E、F．

(1)求證：AB·AC＝AE·AF；

(2)若AT＝2，⊙O₁與⊙O₂的半徑之比為1∶3，求AE的長(zhǎng)．

如圖所示，已知：A是⊙O₁、⊙O₂的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)M是O₁O₂的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線BC垂直于MA，分別交⊙O₁、⊙O₂于B、C．

(1)求證：AB＝AC；

(2)若O₁A切⊙O₂于點(diǎn)A，弦AB、AC的弦心距分別為d₁、d₂，求證：d₁＋d₂＝O₁O₂；

(3)在(2)的條件下，若d₁d₂＝1，設(shè)⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為R、r，求證R²＋r²＝R²r²．

如圖所示，已知：⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作⊙O₁的切線交⊙O₂于D點(diǎn)，連結(jié)DA并延長(zhǎng)與⊙O₁相交于C點(diǎn)，連結(jié)BC，過(guò)A點(diǎn)作AE∥BC，與⊙O₂相交于E點(diǎn)，與BD相交于F點(diǎn)．

(1)求證：EF·BC＝DE·AC；

(2)若AD=3，AC=1，AF=，求EF的長(zhǎng)．

如圖所示，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A在EB的延長(zhǎng)線上，弦PD⊥BE，垂足為C，連結(jié)OD，且∠AOD=∠APC．

(1)求證：AP是⊙O的切線；

(2)若OC∶CB＝1∶2，且AB=9，求⊙O的半徑及sinA的值．

如圖所示，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AE切⊙O于點(diǎn)A，BC∥AE．

(1)求證：△ABC是等腰三角形；

(2)設(shè)AB=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P是射線AE上的點(diǎn)，若以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？并求AP的長(zhǎng)．

如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，以一邊BC為直徑在正方形內(nèi)部作半圓，過(guò)點(diǎn)A作半圓的切線，切點(diǎn)為F，AF的延長(zhǎng)線交CD于E．求：

(1)EC的長(zhǎng)；

(2)cos∠BAE的值；

(3)S_△ADE．

如圖所示，PA、PB分別和⊙O相切于A、B，AC是⊙O的直徑，OP交AB于E，交劣弧于F，且AC＝4cm，PE＝3cm．

(1)求PA和BC的長(zhǎng)；

(2)求證：點(diǎn)F是△PAB的內(nèi)心．

已知Rt△ABC中，斜邊AB=4，內(nèi)切圓半徑為－2．求：

(1)S_△ABC

(2)tanA＋tanB的值．

如圖所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線相交于D，和⊙O相交于E，AC平分∠DAB．

(1)求證：∠ADC＝；

(2)若⊙O的半徑為5，AD＝8，求AC．