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【題目】(換元思想)閱讀材料:
材料1 若一元二次方程的兩根為、,則,.
材料2 已知實數(shù)、滿足,,且,求的值.
解:由題知、是方程的兩個不相等的實數(shù)根,根據(jù)材料1,得,.
∴.
根據(jù)上述材料解決下面的問題:
(1)一元二次方程的兩根為,,則,___________;
(2)已知實數(shù),滿足,,且,求的值;
(3)已知實數(shù),滿足,,且,求的值.
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【題目】如圖,已知:關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(1,0)和點B,與y軸交于點C(0,3),拋物線的對稱軸與x軸交于點D.
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)在y軸上是否存在一點P,使△PBC為等腰三角形.若存在,請求出點P的坐標;
(3)有一個點M從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動,另一個點N從點D與點M同時出發(fā),以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動,當點M到 達點B時,點M、N同時停止運動,問點M、N運動到何處時,△MNB面積最大,試求出最大面積.
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【題目】(操作發(fā)現(xiàn))
(1)如圖1,△ABC為等邊三角形,先將三角板中的60°角與∠ACB重合,再將三角板繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于30°),旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點D,在三角板斜邊上取一點F,使CF=CD,線段AB上取點E,使∠DCE=30°,連接AF,EF.
①求∠EAF的度數(shù);
②DE與EF相等嗎?請說明理由;
(類比探究)
(2)如圖2,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,先將三角板的90°角與∠ACB重合,再將三角板繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于45°),旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點D,在三角板另一直角邊上取一點F,使CF=CD,線段AB上取點E,使∠DCE=45°,連接AF,EF.請直接寫出探究結(jié)果:
①∠EAF的度數(shù);
②線段AE,ED,DB之間的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】超市銷售某種兒童玩具,如果每件利潤為40元(市場管理部門規(guī)定,該種玩具每件利潤不能超過60元),每天可售出50件.根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),銷售單價每增加2元,每天銷售量會減少1件.當銷售單價為多少時,超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元?
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【題目】如圖,四邊形ABCD為菱形,以AD為直徑作⊙O交AB于點F,連接DB交⊙O于點H,E是BC上的一點,且BE=BF,連接DE.
(1)求證:DE是⊙O的切線.
(2)若BF=2,BD=2,求⊙O的半徑.
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【題目】書法是我國的文化瑰寶,研習書法能培養(yǎng)高雅的品格.某校為加強書法教學,了解學生現(xiàn)有的書寫能力,隨機抽取了部分學生進行測試,測試結(jié)果分為優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個等級,分別用A,B,C,D表示,并將測試結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答以下問題:
(1)本次抽取的學生人數(shù)是 ,扇形統(tǒng)計圖中A所對應扇形圓心角的度數(shù)是 .
(2)把條形統(tǒng)計圖補充完整.
(3)若該學校共有2800人,等級達到優(yōu)秀的人數(shù)大約有多少?
(4)A等級的4名學生中有3名女生1名男生,現(xiàn)在需要從這4人中隨機抽取2人參加電視臺舉辦的“中學生書法比賽”,請用列表或畫樹狀圖的方法,求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點B(4,2),BA⊥x軸于A.
(1)畫出將△OAB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°后所得的△OA1B1,并寫出點A1、B1的坐標;
(2)畫出△OAB關(guān)于原點O的中心對稱圖形△OA2B2,并寫出點A2、B2的坐標.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=x2的圖象如圖所示.已知A點坐標為(1,1),過點A作AA1∥x軸交拋物線于點A1,過點A1作A1A2∥OA交拋物線于點A2,過點A2作A2A3∥x軸交拋物線于點A3,過點A3作A3A4∥OA交拋物線于點A4……,依次進行下去,則點A2019的坐標為_______.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=4,若將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,點A的對應點為點A′,點C的對應點為點C′,點D為A′B的中點,連接AD.則點A的運動路徑與線段AD、A′D圍成的陰影部分面積是______.
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