Question

1．如圖，圓柱體甲和薄壁圓柱形容器乙置于水平地面．甲的重力為10N，底面積為5×10^-3m²．求：
（1）乙容器內水面下0.1m處水的壓強p_水．
（2）將甲輕輕放入乙容器水中浸沒后，無水溢出，乙容器對地面壓強的增加量是水對乙容器底部壓強增加量的5倍，則甲的密度ρ_甲；
（3）將乙容器中的水全部倒出并烘干乙容器內部殘留的水，再倒入1kg某種液體，接著將甲慢慢浸入乙容器的液體中．當甲下表面剛好接觸液面，再豎直向下移動0.03m時，甲恰好浸沒，無液體溢出，則甲未浸入時，該液體對乙容器底部的壓強是多大．

Answer 1

分析 （1）根據p=ρgh求出乙容器內水面下0.1m處水的壓強；
（2）將甲輕輕放入乙容器水中浸沒后，無水溢出，根據水平面上物體的壓力和自身的重力相等可知，乙容器對地面壓力的增加量等于甲物體的重力，根據G=mg和ρ=$\frac{m}{V}$表示出物體甲的體積即為排開水的體積，根據V=Sh表示出容器內水面上升的高度，根據p=p=ρgh表示出乙容器底部壓強的增加量，然后根據題意得出等式即可求出甲的密度；
（3）先求出甲的體積，然后求出甲的高度；當甲下表面剛好接觸液面，再豎直向下移動0.03m時，甲恰好浸沒，原來液體的體積加上甲物體的體積等于浸沒后的總體積，根據V=Sh得出等式即可求出乙的底面積，圓柱形容器中液體的壓力和自身的重力相等，根據p=$\frac{F}{S}$求出甲未浸入時該液體對乙容器底部的壓強．

解答 解：（1）乙容器內水面下0.1m處水的壓強：
p_水=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.1m=1000Pa；
（2）將甲輕輕放入乙容器水中浸沒后，無水溢出，
因水平面上物體的壓力和自身的重力相等，
所以，乙容器對地面壓力的增加量△F=G_甲=10N，
乙容器對地面壓強的增加量：
△p_乙=$\frac{△F}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{甲}}{{S}_{乙}}$，
由G=mg和ρ=$\frac{m}{V}$可得，物體甲排開水的體積：
V_排水=V_甲=$\frac{{m}_{甲}}{{ρ}_{甲}}$=$\frac{\frac{{G}_{甲}}{g}}{{ρ}_{甲}}$=$\frac{{G}_{甲}}{g{ρ}_{甲}}$，
乙容器內水面上升的高度：
△h=$\frac{{V}_{排水}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{甲}}{g{ρ}_{甲}{S}_{乙}}$，
乙容器底部壓強的增加量：
△p_水=ρ_水g△h=ρ_水g×$\frac{{G}_{甲}}{g{ρ}_{甲}{S}_{乙}}$=$\frac{{ρ}_{水}{G}_{甲}}{{ρ}_{甲}{S}_{乙}}$，
因乙容器對地面壓強的增加量是水對乙容器底部壓強增加量的5倍，
所以，$\frac{{G}_{甲}}{{S}_{乙}}$=5$\frac{{ρ}_{水}{G}_{甲}}{{ρ}_{甲}{S}_{乙}}$，
解得：ρ_甲=5ρ_水=5×1.0×10³kg/m³=5×10³kg/m³；
（3）甲的體積：
V_甲=$\frac{{m}_{甲}}{{ρ}_{甲}}$=$\frac{\frac{{G}_{甲}}{g}}{{ρ}_{甲}}$=$\frac{{G}_{甲}}{g{ρ}_{甲}}$=$\frac{10N}{10N/kg×5×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=2×10^-4m³，
甲的高度：
h_甲=$\frac{{V}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{2×1{0}^{-4}{m}^{3}}{5×1{0}^{-3}{m}^{2}}$=0.04m，
當甲下表面剛好接觸液面，再豎直向下移動0.03m時，甲恰好浸沒，
因原來液體的體積加上甲物體的體積等于浸沒后的總體積，
所以，S_乙h_液+S_甲h_甲=（h_液+h_甲-h_下降）S_乙，
整理可得：
S_乙=$\frac{{h}_{甲}}{{h}_{甲}-{h}_{下降}}$S_甲=$\frac{0.04m}{0.04m-0.03m}$×5×10^-3m²=2×10^-2m²，
因圓柱形容器中液體的壓力和自身的重力相等，
所以，甲未浸入時該液體對乙容器底部的壓強：
p_甲=$\frac{{F}_{甲}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{m}_{甲}g}{{S}_{乙}}$=$\frac{1kg×10N/kg}{2×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=500Pa．
答：（1）乙容器內水面下0.1m處水的壓強為1000Pa；
（2）甲的密度為5×10³kg/m³；
（3）甲未浸入時，該液體對乙容器底部的壓強是500Pa．

點評 本題考查了液體壓強公式和固體壓強公式、重力公式的應用等，利用好“原來液體的體積加上甲物體的體積等于浸沒后的總體積”是關鍵．