Question

19．如圖所示，電源電壓保持不變．只閉合S₁時，電路中電流為I₁，R₁的功率為P₁，R₃的功率為4W；只閉合S₂時，電路中電流為I₂，R₃的功率為P₂．若P₁：P₂=4：9，I₁：I₂=2：3．求：
（l）電阻R₂和R₃之比．
（2）開關(guān)S₁、S₂、S₃都閉合時，電路消耗的總功率．

Answer 1

分析 （1）只閉合S₁時R₁與R₃串聯(lián)，只閉合S₂時R₂與R₃串聯(lián)，知道兩種情況下的電流之比，根據(jù)電壓一定時電流與電阻成反比得出三電阻之間的關(guān)系，根據(jù)P=I²R表示出P₁：P₂=4：9，然后聯(lián)立等式得出三電阻之間的關(guān)系；
（2）開關(guān)S₁、S₂、S₃都閉合時，R₁與R₂并聯(lián)，根據(jù)電阻的并聯(lián)表示出電路中的總電阻，根據(jù)電壓一定時電流與電阻成反比求出圖1和圖3中的電流之比，根據(jù)串聯(lián)電路的特點和P=I²R求出圖1中的總功率，利用P=UI求出圖1和圖3的總功率之比，進(jìn)一步得出答案．

解答 解：只閉合S₁時，等效電路圖如圖1所示；只閉合S₂時，等效電路圖如圖2所示；

因電壓一定時，電流與電阻成反比，
所以，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{{R}_{2}+{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=$\frac{2}{3}$，
整理可得：
3R₂+R₃=2R₁-------①
由P=I²R可得：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}{R}_{1}}{{{I}_{2}}^{2}{R}_{3}}$=（$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$）²×$\frac{{R}_{1}}{{R}_{3}}$=（$\frac{2}{3}$）²×$\frac{{R}_{1}}{{R}_{3}}$=$\frac{4}{9}$，
解得：
R₁=R₃，即R₁：R₃=1：1，
代入①可得：R₁=R₃=3R₂，即R₂：R₃=1：3；
（2）開關(guān)S₁、S₂、S₃都閉合時，等效電路圖如圖3所示：

因并聯(lián)電路中總電阻的倒數(shù)等于各分電阻倒數(shù)之和，
所以，電路中的總電阻：
R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}×\frac{1}{3}{R}_{1}}{{R}_{1}+\frac{1}{3}{R}_{1}}$=$\frac{{R}_{1}}{4}$，
因電壓一定時，電流與電阻成反比，
所以，圖1和圖3中的電流之比：
$\frac{{I}_{1}}{{I}_{3}}$=$\frac{R}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=$\frac{\frac{{R}_{1}}{4}}{{R}_{1}+{R}_{1}}$=$\frac{1}{8}$，
圖1中，因串聯(lián)電路中各處的電流相等，
所以，由P=I²R可得：
$\frac{{P}_{1總}}{{P}_{3}}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}（{R}_{1}+{R}_{3}）}{{{I}_{1}}^{2}{R}_{3}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{3}}{{R}_{3}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{1}}{{R}_{1}}$=2，
即P_1總=2P₃=2×4W=8W，
圖1和圖3的總功率之比：
$\frac{{P}_{1總}}{{P}_{2總}}$=$\frac{U{I}_{1}}{U{I}_{3}}$=$\frac{{I}_{1}}{{I}_{3}}$=$\frac{1}{8}$，
則圖3中的總功率：
P_3總=8P_1總=8×8W=64W．
答：（1）電阻R₂和R₃之比為1：3．
（2）開關(guān)S₁、S₂、S₃都閉合時，電路消耗的總功率為64W．

點評 本題考查了串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的特點以及歐姆定律的應(yīng)用，利用比值法解決問題時要注意各量之間的關(guān)系，不要顛倒．