Question

3．某工廠設(shè)計了一個蓄水池，如圖25所示，水源A罐的液面高度h₁=3m，且保持不變．罐底有一個小出水口，面積為S₁，S₁=0.1m²．孔下通過一個截面積為S₂活塞與杠桿BC相連，S₂=0.24m²．杠桿可繞B端上下轉(zhuǎn)動，另一端有一個中空的圓柱體浮子，橫截面積為S₃，S₃=0.8m²，BO是杠桿總長的$\frac{1}{3}$．原設(shè)計打算當杠桿水平時，浮子浸入水深為h₂，h₂=0.7m，活塞恰好能賭住出水口，但在使用時發(fā)現(xiàn)，活塞離出水口尚有一小段距離△h時，浮子便不再上浮，此時浮子浸入水深為h₃，h₃=1m，為了使活塞自動堵住出水口，只得將浮子的質(zhì)量減去一部分，設(shè)減去的質(zhì)量為m′．（g取10N/kg，杠桿水平時，認為BO仍是杠桿總長的$\frac{1}{3}$，活塞及連桿和杠桿的質(zhì)量均不計，杠桿所受浮力不計，浮子浸入水中體積變化引起的蓄水池液面變化忽略不計，ρ_水=1×10³kg/m³）試求
（1）按原設(shè)計活塞堵住出水口后，活塞受到水的壓力為多大？
（2）求△h是多少？
（3）浮子應(yīng)減去質(zhì)量m′是多少？

Answer 1

分析 （1）利用p=ρgh計算活塞受到水的壓強，然后利用p=$\frac{F}{S}$計算活塞受到水的壓力；
（2）活塞上升的高度即為O點上升的距離．杠桿由原來的位置到水平位置，浮子進入水中的深度由現(xiàn)在的深度h3上升到設(shè)計的h2，同時O點上升到D點．通過兩次位置的變化，得到一對相似三角形，利用相似形的對應(yīng)邊成比例可以求得OD的長度，即活塞上升的高度．
（3）以傾斜的杠桿為研究對象，分析出對杠桿的向上的作用力和對杠桿向下的作用力，并分別表示出來，利用杠桿的平衡條件將其聯(lián)系在一起，求得浮子原來的重力．
以水平的杠桿為研究對象，分析出此時對杠桿的向上的作用力和對杠桿向下的作用力，并分別表示出來，利用杠桿的平衡條件將其聯(lián)系在一起，求得浮子現(xiàn)在的重力．
兩次重力之差即為減去的浮子的重力，從而得到減去的浮子的質(zhì)量．

解答 解：（1）按原設(shè)計活塞堵住出水口時，活塞到A罐水面的高度h₁=3m，
活塞受到水的壓強：p₁=ρ_水gh₁=1.0×10³kg/m³×10N/kg×3m=3×10⁴Pa，
活塞受到水的壓力：F=p₁S₁=3×10⁴Pa×0.1m²=3×10³N；
（2）設(shè)浮子原來重力為G，杠桿平衡時處于傾斜狀態(tài)，如圖甲所示，

當杠桿由傾斜狀態(tài)變?yōu)樗�平狀態(tài)時，杠桿C端上升高度為h_EC=h₃-h₂，
根據(jù)幾何知識可知，△BDO相似于△BEC，
所以，$\frac{BO}{BC}$=$\frac{DO}{EC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BO}{BC}$=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
活塞上升高度△h=h_DO=$\frac{1}{3}{h}_{EC}$=$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$=$\frac{1m-0.7m}{3}$=0.1m；
（3）①浮子減重前，根據(jù)上圖可知，活塞到A罐水面的高度h′=h₁+△h=3m+0.1m=3.1m．
此時O點受到的力：F_壓=ρ_水gh′S₂=10³kg/m³×10N/kg×0.24m²×3.1m=7440N，
浮子受浮力和重力，設(shè)它們的合力為F_合，方向豎直向上（只有浮子的合力方向向上時才能使杠桿平衡）．
根據(jù)杠桿平衡條件有：F_合L_BE=F_壓L_BD，
所以${F}_{合}=\frac{{F}_{壓}{L}_{BD}}{{L}_{BE}}=7440N×\frac{1}{3}=2480N$
根據(jù)題意可知，此時浮子浸入水深為h₃，此時浮子受到的浮力：
${F}_{浮}={ρ}_{水}g{S}_{3}{h}_{3}=1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg$×0.8m²×1m=8000N
杠桿平衡時，以浮子為研究對象，浮子受到的合力F_合=F_浮-G，
則浮子原來的重G=F_浮-F_合=8000N-2480N=5520N．
②浮子減重后，杠桿平衡時，如圖所示

活塞能堵住出水口，由1小題可知，O點受到的力F_壓′=3000N．
浮子減重后，設(shè)此時浮子受到的合力為F_合′，
根據(jù)杠桿平衡條件有：F_合′×L_BC=F_壓′×L_BO，
所以F_合′=$\frac{{F}_{壓}′×{L}_{BO}}{{L}_{BC}}=3000N×\frac{1}{3}=1000N$
根據(jù)題意可知，此時浮子浸入水深為h₂，此時浮子受到的浮力：
F_浮′=ρ_水gS₃h₂=10³kg/m³×10N/kg×0.8m²×0.7m=5600N
浮子減重后，設(shè)浮子的重為G₁，
杠桿平衡時，以浮子為研究對象，浮子受到的合力F_合′=F_浮′-G₁．
則浮子現(xiàn)在的重G₁=F_浮′-F_合′=5600N-1000N=4600N
所以，浮子減去的重G′=G-G₁=5520N-4600N=920N
浮子減去的質(zhì)量m′=$\frac{G′}{g}$=$\frac{920N}{10N/kg}$=92kg．
答：（1）按原設(shè)計活塞堵住出水口后，活塞受到水的壓力為3×10³N；
（2）△h是0.1m；
（3）浮子應(yīng)減去質(zhì)量m′是92kg．

點評 以杠桿的平衡條件為橋梁，將浮子受到的重力，浮力以及水池內(nèi)水對活塞的壓力聯(lián)系起來，得到關(guān)于這幾個力的方程，然后利用阿基米德原理將浮子受到的浮力表示出來，利用液體壓強的特點和壓力的計算公式將水對活塞的壓力表示出來，即可求出浮子的重力．從而可以求得浮子減去的質(zhì)量．
對浮子和活塞進行受力分析是解決此題的關(guān)鍵．