Question

17．如圖甲所示，足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ所在平面與水平面成30°角，兩導軌的間距l(xiāng)=0.50m，一端接有阻值R=1.0Ω的電阻．一根長為L，質(zhì)量m=0.10kg、電阻r=0.25Ω的金屬棒ab置于導軌上，與軌道垂直，整個裝置處于磁感應(yīng)強度B=1.0T的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向上．t=0時刻，對金屬棒施加一平行于導軌向上的外力F，使之由靜止開始運動，運動過程中，流過電阻R的電流I隨時間t變化的關(guān)系圖線如圖乙所示．（電路中其他部分電阻不計，g取10m/s²）
（1）求4.0s末金屬棒a、b兩端的電勢差U_ab；
（2）求3.0s末力F的瞬時功率；
（3）已知0-3.0s時間內(nèi)電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為0.36J，試計算該段時間F對金屬棒所做的功．

Answer 1

分析 （1）由圖讀出電路中的電流，再由歐姆定律求a、b兩端的電勢差U_ab；
（2）由圖象求出3s末電路中的電流和感應(yīng)電動勢，然后求出金屬棒的速度．由圖象判斷導體棒的運動性質(zhì)，求出導體棒的加速度，由牛頓第二定律及安培力公式求出3s末導體棒的速度，然后由公式P=Fv求出力F的瞬時功率；
（3）由串聯(lián)電路特點及焦耳定律求出導體棒產(chǎn)生的熱量，求出整個電路產(chǎn)生的熱量，克服安培力做的功轉(zhuǎn)化為焦耳熱；然后由動能定理求出力F對金屬棒做的功．

解答 解：（1）由圖乙可得：t=4.0s時，I=0.8A，金屬棒a、b兩端的電勢差 U_ab=IR=0.8V
（2）導體棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢：E=BLv
由閉合電路的歐姆定律可得，電路中感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$
由圖乙可得：t=4.0s時，I=0.8A，即：$\frac{BLv}{R+r}$=0.8A，
解得：v=2m/s；
由于B、l、R、r是定值，由I=$\frac{BLv}{R+r}$，可知，I與v成正比，
由圖乙可知，電流I與時間t成正比，由此可知，速度v與時間t成正比，由此可知，導體棒做初速度為零的勻加速直線運動，
4.0s內(nèi)金屬棒的加速度a=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{2}{4}$=0.5m/s²，
對金屬棒由牛頓第二定律得：F-mgsin30°-F_安=ma，
由圖乙所示圖象可知，t=3s時I=0.6A，此時F_安=BIl=1T×0.6A×0.5m=0.3N，
則3s末，拉力F=mgsin30°+F_安+ma=0.85N，
t=3s時I=0.6A，由I=$\frac{BLv}{R+r}$可知，t=3s時，棒的速度v=1.5m/s，
3.0s末力F的瞬時功率為：P=Fv=0.85N×1.5m/s=1.275W；
（3）通過R與r的電流I相等，由焦耳定律得：
  $\frac{{Q}_{r}}{{Q}_{R}}$=$\frac{r}{R}$=$\frac{0.25}{1}$=$\frac{1}{4}$，則有：Q_r=$\frac{1}{4}$Q_R=$\frac{1}{4}$×0.36J=0.09J，
在該過程中電路中產(chǎn)生的總熱量為：Q_總=Q_r+Q_R=0.45J，
在導體棒運動的過程中，克服安培力做的功轉(zhuǎn)化為焦耳熱，
因此在該過程中，安培力做的功為：W_安=-Q_總=-0.45J，
對金屬棒，在0～3.0s內(nèi)，導體棒的位移：
x=$\frac{1}{2}$at′²=$\frac{1}{2}$×0.5×3²=2.25m
重力做的功為：W_G=-mgxsin30°=-0.1×10×2.25×0.5=-1.125J，
t=3s時，v′=at′=1.5m/s，由動能定理得：
W_F+W_安+W_G=$\frac{1}{2}$mv′²-0，
解得，F(xiàn)對金屬棒所做的功：W_F=1.6875J；
答：（1）4.0s末金屬棒a、b兩端的電勢差U_ab是0.8V
（2）3.0s末力F的瞬時功率是1.275W；
（3）已知0-3.0s時間內(nèi)電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為0.36J，該段時間F對金屬棒所做的功是1.6875J．

點評 本題難度較大，是一道電磁感應(yīng)與電路、運動學相結(jié)合的綜合題，分析清楚棒的運動過程、由圖象找出某時刻所對應(yīng)的電流、應(yīng)用相關(guān)知識，是正確解題的關(guān)鍵．