已知橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為P（1，0），過C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線C2：y=x2+h（h∈R）的焦點(diǎn)為F，過F點(diǎn)的直線l交拋物線與A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C2的切線交于Q點(diǎn)，且Q點(diǎn)在橢圓C1上，求△ABQ面積的最值，并求出取得最值時(shí)的拋物線C2的方程．
（I）由題意得
b=1
2•
b2
a
=1
，解得
a=2
b=1
，
∴所求的橢圓方程為
y2
4
+x2=1；
（II）令A(x1，x12+h)，B(x2，x22+h)，
設(shè)切線AQ方程為y-(x12+h)=k(x-x1)，代入y=x2+h，得：x2-kx+kx1-x12=0．
令△=0，可得k=2x1．
∴拋物線C2在點(diǎn)A處的切線斜率為k=2x1．
∴切線AQ方程為：y-(x12+h)=2x1(x-x1)，即y=2x1x-x12+h ①
同理可得BQ方程為：y=2x2x-x22+h ②
聯(lián)立①②解得Q點(diǎn)為(
x1+x2
2
，x1x2+h)．
焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，h+
1
4
），令l方程為：y=kx+h+
1
4
，代入C2：y=x2+h，
得：x2-kx-
1
4
=0，由韋達(dá)定理有：x1+x2=k，x1x2=-
1
4
．
∴Q點(diǎn)為(
k
2
，h-
1
4
)．
過Q作y軸平行線交AB于M點(diǎn)，則S△ABQ=
1
2
|QM||x1-x2|．
M點(diǎn)為(
k
2
，
k2
2
+h+
1
4
)，
|QM|=
k2+1
2
，|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
k2+1
．
∴S△ABQ=
1
2
|QM||x1-x2|=
1
4
(
k2+1
)3．
而Q點(diǎn)在橢圓上，∴
(h-
1
4
)2
4
+(
k
2
)2=1，∴k2=4-(h-
1
4
)2∈[0，4]．
∴(S△ABQ)min=
1
4
，此時(shí)k=0，h=
9
4
或-
7
4
，
則拋物線方程為：y=x2+
9
4
或y=x2-
7
4
．
(S△ABQ)max=
5
5
4
，此時(shí)k2=4，h=
1
4
，
則拋物線方程為：y=x2+
1
4
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A、B．點(diǎn)P雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，直線AP、BP與橢圓C1分別交于C、D點(diǎn)．若△ACD與△PCD的面積相等．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）能否使直線CD過橢圓C1的右焦點(diǎn)，若能，求出此時(shí)雙曲線C2的離心率，若不能，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)x，y∈R，
i
，
j
為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量，若
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上兩點(diǎn)AB，滿足（1）直線AB過點(diǎn)（0，3），（2）若
OP
=
OA
+
OB
，則OAPB為矩形，試求AB方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線C1：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為P（
3
，
1
2
）
（1）求拋物線C1及橢圓C2的方程；
（2）已知直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C2交于不同兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M滿足
AM
+
BM
=
0
，直線FM的斜率為k1，試證明k•k1＞
-1
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2
2
的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O．橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）試探求C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng)．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知兩條拋物線y1=x2+2mx+4，y2=x2+mx-m中至少有一條與x軸有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線
y2
2
-x2=1的焦點(diǎn)重合，過P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線W的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，過點(diǎn)F作x軸的垂線與W交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限，|AB|=8，過點(diǎn)B作直線BC與x軸交于點(diǎn)T（t，0）（t＞2），與拋物線交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線W的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若t=6，曲線G：x2+y2-2ax-4y+a2=0與直線BC有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若|OB|2+|OC|2≤|BC|2，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：3x2+y2=12，直線x-y-2=0交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)及長(zhǎng)軸長(zhǎng)；
（Ⅱ）求以線段AB為直徑的圓的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案