Question

【題目】如圖所示，正三棱柱的底面邊長是2，側(cè)棱長是，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）存在點(diǎn)，使得平面平面，且

【解析】

（I）連接AB1交A1B于點(diǎn)M，連接MD．利用中位線定理得出B1C∥MD，故而B1C∥平面A1BD；

（II）作CO⊥AB于點(diǎn)O，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，設(shè)AE＝a，分別求出平面B1C1E和平面A1BD的法向量，令兩法向量垂直解出a．

（I）連接交于點(diǎn)，連接．

∵三棱柱是正三棱柱，∴四邊形是矩形，

∴為的中點(diǎn)．

∵是的中點(diǎn)，∴．

又平面，平面，

∴平面．

（II）作于點(diǎn)，則平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)．

∵是的中點(diǎn)，∴．

∴．

設(shè)是平面的法向量為，∴，

∴，令，得．

∵，則．

設(shè)平面的法向量為，∴．

∴，令，得．

∵平面平面，∴，

即，解得．

∴存在點(diǎn)，使得平面平面，且．