Question

【題目】在四棱錐中，四邊形是矩形，平面 平面，點(diǎn)、分別為、中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）若，求平面DEF與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（I）取中點(diǎn)，連接．可證得四邊形是平行四邊形， ，

而平面， 平面，有平面

（II）取中點(diǎn)，連接，證明，以為原點(diǎn)，OA,OP為x,y軸

建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可.

試題解析：（I）證明：取中點(diǎn)，連接．

在△中，有

分別為、中點(diǎn)

在矩形中， 為中點(diǎn)

四邊形是平行四邊形

而平面， 平面

平面

（II）取中點(diǎn)，連接，設(shè).

四邊形是矩形

平面 平面,平面 平面= ， 平面

平面

又 ， ， 為中點(diǎn)

， ， .

故可建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則

， ， ， ，

，

，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

，即

不妨設(shè)，則．

易知向量為平面的一個(gè)法向量．

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.