Question

1．已知函數(shù)f（x）=x|x|-2x．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；（只需寫出結(jié)果）
（Ⅲ）試討論方程f（x）=m的根的情況．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可看出f（x）的定義域?yàn)镽，并容易得到f（-x）=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)，令f（x）=0即可求出f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）去絕對(duì)值號(hào)，便得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}-2x}&{x＜0}\end{array}\right.$，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）畫出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象便可看出f（x）=m的根的情況．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)镽，且f（-x）=-x|x|+2x=-f（x）；
∴f（x）為奇函數(shù)；
令f（x）=0得，x=0，或x=±2；
即f（x）的零點(diǎn)為0，-2，2；
（Ⅱ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}-2x}&{x＜0}\end{array}\right.$；
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1]，[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，0），[0，1]；
（Ⅲ）如圖，

由圖象可看出當(dāng)m＜-1時(shí)，方程f（x）=m沒有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)m=-1或m＞0時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，有4個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)m=0時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義及判斷方法和過程，函數(shù)零點(diǎn)的定義及求法，含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，以及根據(jù)圖象判斷方程實(shí)根個(gè)數(shù)的方法．