Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+a,a∈R.

（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當x≥1時，恒有g(x)=(x+1)f(x)﹣lnx≤0恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當a≤0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當a>0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）求導，對參數(shù)進行分類討論，求出對應情況下的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）求出的導函數(shù)，進行二次求導，通過討論導數(shù)的正負，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結合題意即可進行求解.

（1）函數(shù)的定義域(0,+∞)，，

(i)當時，恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(ii)當a>0時，由可得，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，

由可得，x，此時函數(shù)單調(diào)遞減.

故當a≤0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；

當a>0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.

（2）當x≥1時，g(x)=(x+1)(lnx﹣ax+a)﹣lnx=xlnx﹣ax2+a，

=lnx+1﹣2ax，

令h(x)=lnx+1﹣2ax，

則.

(i)當a≤0時，>0恒成立，h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.

h(x)≥h（1）=1﹣2a>0，

即0，故g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)≥g（1）=0，不合題意；

(ii)當0<a時，h(x)在[1,]上單調(diào)遞增，

=1﹣2a>0，此時g(x)在[1,]上單調(diào)遞增，

所以g()>g（1）=0，不合題意；

(iii)當a時，，h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，

所以，故≤0，

所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，

所以g(x)≤g（1）=0，所以g(x)≤0恒成立.

綜上所述，的取值范圍為.