Question

18．已知圓C：x²+y²-6x-8y+20=0，過原點(diǎn)O作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別設(shè)為P，Q，
（1）求切線的方程；
（2）求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （1）求出圓心坐標(biāo)和半徑，利用點(diǎn)C到切線的距離為d=$\frac{{|{3k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{5}$，求出k，即可求切線的方程；
（2）直角三角形中使用邊角關(guān)系求出cosα，二倍角公式求出cos∠PO₁Q，三角形PO₁Q中，用余弦定理求出|PQ|．

解答 解：（1）由已知得圓的方程為：（x-3）²+（y-4）²=5，圓心C（3，4），
設(shè)切線：y=kx，即kx-y=0，點(diǎn)C到切線的距離為d=$\frac{{|{3k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{5}$，
化簡得4k²-24k+11=0，解得$k=\frac{11}{2}，k=\frac{1}{2}$，
∴切線的方程為y=$\frac{11}{2}$x或y=$\frac{1}{2}$x；
（2）圓x²+y²-6x-8y+20=0 可化為 （x-3）²+（y-4）² =5，
圓心（3，4）到原點(diǎn)的距離為5．故cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠PO₁Q=2cos²α-1=-$\frac{3}{5}$，
∴|PQ|²=（$\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{5}$）²+2×（$\sqrt{5}$）²×$\frac{3}{5}$=16．∴|PQ|=4

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直角三角形中的邊角關(guān)系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求邊長．