Question

18．已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)g（x）=f′（x）+6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
（1）求m、n的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）-ax在（-1，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用條件的到兩個(gè)關(guān)于m、n的方程，求出m、n的值，再找函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0對(duì)應(yīng)的區(qū)間即可．
（2）由h'（x）=3x²-6x-a≤0在（-1，1）上恒成立，得a≥3x²-6x對(duì)x∈（-1，1）恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-6），得m-n=-3，
由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n，a≥9
則g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n，
而g（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以-$\frac{2m+6}{2×3}$=0，所以m=-3，代入①得n=0．
于是f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．
（2）解：由h'（x）=3x²-6x-a≤0在（-1，1）上恒成立，
得a≥3x²-6x對(duì)x∈（-1，1）恒成立．
∵-1＜x＜1，
∴3x²-6x＜9，
∴a≥9．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．