Question

15．在平面直角坐標系中，定義兩點P（x₁，y₁）與Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”為：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．現(xiàn)給出下列4個命題：
①已知P（1，2），Q（cos²θ，sin²θ）（θ∈R），則d（P，Q）為定值；
②已知P，Q，R三點不共線，則必有d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，R）；
③用|PQ|表示P，Q兩點之間的距離，則|PQ|≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$d（P，Q）；
④若P，Q是橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}$=1上的任意兩點，則d（P，Q）的最大值為6．
則下列判斷正確的為（　�。�

• A． 命題①，②均為真命題
• B． 命題②，③均為假命題
• C． 命題②，④均為假命題
• D． 命題①，③，④均為真命題

Answer 1

分析 先根據(jù)直角距離的定義分別表示出所求的問題的表達式，然后根據(jù)集合中絕對值的性質(zhì)進行判定即可．

解答 解：①已知P（1，2），Q（cos²θ，sin²θ）（θ∈R），則d（P，Q）=|1-cos²θ|+|2-sin²θ|=sin²θ+2-sin²θ=2為定值；故①正確，
②已知P，Q，R三點不共線，設(shè)P（1，0），Q（0，0），R（0，1），
則d（P，Q）=|x_P-x_Q|+|y_P-y_Q|=1，
d（Q，R）=|x_Q-x_R|+|y_Q-y_R|=1．
d（P，R）=|x_P-x_R|+|y_P-y_R|=1+1=2，此時d（P，Q）+d（Q，R）=d（P，R）；
∴d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，R）不成立，故②錯誤，
③若|PQ|表示P、Q兩點間的距離，那么|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，
∵2（a²+b²）≥（a+b）²，
∴$\sqrt{2[（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}]}$≥|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，即$\sqrt{2}$|PQ|≥d（P，Q），
則|PQ|≥$\frac{1}{\sqrt{2}}$d（P，Q）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$d（P，Q），故③正確，
④若P，Q是$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}$=1上的任意兩點，d（P，Q）的最大，設(shè)P（$\sqrt{5}$cosα，2sinα），Q（-$\sqrt{5}$cosα，-2sinα）；則d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=2（$\sqrt{5}$cosα+2sinα）=6sin（α+θ），則d（P，Q）的最大值為6；故④正確，
故選：D

點評 本題考查兩點之間的“直角距離”的定義，絕對值的意義，關(guān)鍵是明確P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）兩點之間的“直角距離”的含義．