Question

20．已知A，B，C，D四點(diǎn)共線，且向量$\overrightarrow{AB}$=（tanα，1），$\overrightarrow{CD}$=（4，-2），則$tan（{2α-\frac{π}{4}}）$=$\frac{1}{7}$．

Answer 1

分析 由兩向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的共線定理列出關(guān)系式，求出tanα的值，進(jìn)一步求出tan2α的值，然后把所求式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，將tan2α的值代入即可求出答案．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{AB}$=（tanα，1），$\overrightarrow{CD}$=（4，-2），且A，B，C，D四點(diǎn)共線，
∴-2tanα-4=0，即tanα=-2，
∴$tan2α=\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}=\frac{2×（-2）}{1-（-2）^{2}}=\frac{4}{3}$．
則$tan（{2α-\frac{π}{4}}）$=$\frac{tan2α-tan\frac{π}{4}}{1+tan2αtan\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{4}{3}-1}{1+\frac{4}{3}}=\frac{1}{7}$．
故答案為：$\frac{1}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，以及向量的共線定理，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，是中檔題．