Question

8．為方便市民休閑觀光，市政府計劃在半徑為200米，圓心角為120°的扇形廣場內(nèi)（如圖所示），沿△ABC邊界修建觀光道路，其中A、B分別在線段CP、CQ上，且A、B兩點間距離為定長$60\sqrt{3}$米．
（1）當∠BAC=45°時，求觀光道BC段的長度；
（2）為提高觀光效果，應(yīng)盡量增加觀光道路總長度，試確定圖中A、B兩點的位置，使觀光道路總長度達到最長？并求出總長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理即可得解BC的值．
（2）設(shè)CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，利用余弦定理可求${（60\sqrt{3}）^2}={x^2}+{y^2}+xy$，結(jié)合基本不等式可求x+y≤120，從而可求觀光道路總長度最長值．

解答 解：（1）在△ABC中，由已知及正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，
即$\frac{{60\sqrt{3}}}{{sin{{120}°}}}=\frac{BC}{{sin{{45}°}}}$，
∴$BC=60\sqrt{2}m$．
（2）設(shè)CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，
在△ABC中，AB²=AC²+CB²-2AC•CB•cos120°，即${（60\sqrt{3}）^2}={x^2}+{y^2}+xy$，
∴${（60\sqrt{3}）^2}={（x+y）^2}-xy≥{（x+y）^2}-\frac{{{{（x+y）}^2}}}{4}=\frac{3}{4}{（x+y）^2}$，
故x+y≤120，當且僅當x=y=60時，x+y取得最大值，
∴當A、B兩點各距C點60米處時，觀光道路總長度達到最長，最長為$（120+60\sqrt{3}）m$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．