Question

6．證明：sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx））），x∈R．

Answer 1

分析 由sinx，cosx的最小正周期為2π，考慮當(dāng)x∈[0，2π）時(shí)，sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx）））．成立．分別證明當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)x=π時(shí)，當(dāng)x=$\frac{3π}{2}$時(shí)，當(dāng)x∈（$\frac{3π}{2}$，2π）時(shí)，當(dāng)x∈（π，$\frac{3π}{2}$）時(shí)，由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)可得；證明當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，sinx+cosx＜$\frac{π}{2}$，即0＜sinx＜$\frac{π}{2}$-cosx＜$\frac{π}{2}$，運(yùn)用正弦函數(shù)單調(diào)性即可得證；再同樣證明當(dāng)x∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性即可得證．

解答 證明：由sinx，cosx的最小正周期為2π，
只要證明：當(dāng)x∈[0，2π）時(shí)，sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx）））．
當(dāng)x=0時(shí)，sin0=0，cos0=1，不等式的左邊=0，右邊＞0，不等式成立；
當(dāng)x=π時(shí)，sinπ=0，cosπ=-1，不等式的左邊=0，右邊＞0，不等式成立；
當(dāng)x=$\frac{3π}{2}$時(shí)，sin$\frac{3π}{2}$=-1，cos$\frac{3π}{2}$=0，不等式的左邊＜0，右邊＞0，不等式成立；
當(dāng)x∈（$\frac{3π}{2}$，2π）時(shí)，sinx＜0，cosx＞0，不等式的左邊＜0，右邊＞0，不等式成立；
當(dāng)x∈（π，$\frac{3π}{2}$）時(shí)，sinx＜0，cosx＜0，不等式的左邊＜0，右邊＞0，不等式成立；
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
即有sinx+cosx＜$\frac{π}{2}$，即0＜sinx＜$\frac{π}{2}$-cosx＜$\frac{π}{2}$，
即有sin（sinx）＜sin（$\frac{π}{2}$-cosx）=cos（cosx），
由sin（sinx）+cos（cosx）＜$\frac{π}{2}$，即0＜sin（sinx）＜$\frac{π}{2}$-cos（cosx）＜$\frac{π}{2}$，
則sin（sin（sinx））＜sin（$\frac{π}{2}$-cos（cosx））=cos（cos（cosx）），
同樣可得sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx）））；
當(dāng)x∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（-1，1），0＜sinx＜1，-1＜cosx＜0．
即有sinx+cosx＜$\frac{π}{2}$，即0＜sinx＜$\frac{π}{2}$-cosx＜$\frac{π}{2}$，
則sin（sinx）＜sin（$\frac{π}{2}$-cosx）=cos（cosx），
同上可得sin（sin（sinx））＜sin（$\frac{π}{2}$-cos（cosx））=cos（cos（cosx）），
同樣可得sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx）））．
綜上可得，sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx））），x∈R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用三角函數(shù)的周期性，以及分類(lèi)討論的思想方法，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．