Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）若函數(shù)在處有極值，求函數(shù)的最大值；

（2）①是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；

②證明：不等式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由的解,即可得出極值點(diǎn),得出值后,再利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）①本題為恒成立問題,利用函數(shù)的增減性和端點(diǎn)值來求解,而函數(shù)的單調(diào)性由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來決定；②運(yùn)用不等式的放縮與基本不等式的性質(zhì),證明右邊項(xiàng)時(shí)采用了數(shù)列的增減性的基本定義來證明,通過說明數(shù)列時(shí)單調(diào)遞減來證明不等式,在證明右側(cè)時(shí),采用將裂項(xiàng)的方法,將詳見得到的每一項(xiàng)放縮,最后利用裂項(xiàng)相消來證得不等式成立．

試題解析：解：（1）由已知得：，且函數(shù)在處有極值

∴，即，∴

∴．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

∴函數(shù)的最大值為．

（2）①由已知得：

（ⅰ）若，則時(shí)，

∴在上為減函數(shù)，

∴在上恒成立；

（ⅱ）若，則時(shí)，

∴在上為增函數(shù)，

∴，不能使在上恒成立；

（ⅲ）若，則時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，

此時(shí)，∴不能使在上恒成立；

綜上所述，的取值范圍是．

②由以上得：

取得：，令，

則，．

因此

又

故

．