Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²+1，（a＞0），g（x）=x³+bx．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a，b的值；
（2）當(dāng)a²=4b時(shí)，求函數(shù)y=f（x）+g（x）在（-∞，0]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，可知切點(diǎn)處的函數(shù)值相等，切點(diǎn)處的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）根據(jù)a²=4b，構(gòu)建函數(shù)h（x），求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間（-∞，0]上的最大值．

解答 解：（1）f（x）=ax²+1（a＞0），
則f'（x）=2ax，k₁=2a，
g（x）=x³+bx，則g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）為公共切點(diǎn)，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，
代入①式可得：a=b=3；
（2）由題設(shè)a²=4b，設(shè)h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+$\frac{1}{4}$a²x+1，
則h′（x）=3x²+2ax+$\frac{1}{4}$a²，令h'（x）=0，解得：x₁=-$\frac{a}{2}$，x₂=-$\frac{a}{6}$；
∵a＞0，
∴-$\frac{a}{2}$＜-$\frac{a}{6}$，

x	（-∞，-$\frac{a}{2}$）	-$\frac{a}{2}$	（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）	-$\frac{a}{6}$	（-$\frac{a}{6}$，0]
h′（x）	+		-		+
h（x）		極大值		極小值

∴原函數(shù)在（-∞，-$\frac{a}{2}$）單調(diào)遞增，在（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）單調(diào)遞減，在（-$\frac{a}{6}$，0]上單調(diào)遞增，
而h（-$\frac{a}{2}$）=1，h（0）=1，
∴函數(shù)的最大值為h（-$\frac{a}{2}$）=h（0）=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)．