Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點Q（1，-

2

2

），且離心率e=

2

2

，直線l與∑相交于M、N兩點，l與x軸、y軸分別相交于C、D兩點，O為坐標原點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）判斷是否存在直線l，滿足2

OC

=

OM

+

OD

  2

OD

=

ON

+

OC

，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）把點的坐標代入橢圓方程，結合橢圓的離心率及隱含條件列方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）把給出的向量等式變形，得到C、D為M、N的三等分點，設出直線l的方程y=kx+m（k≠0），和橢圓方程聯(lián)立，利用四個點坐標間的關系求得k，代入關于x的方程后求得M的坐標，再由中點坐標公式列式求得m的值，則直線方程可求．

解答： 解：（1）由已知得：

1 a2 + 1 2b2 =1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得：a²=2，b²=1．
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）如圖，
假設存在直線l：y=kx+m（k≠0）交橢圓于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點，交x軸于C（c，0），交y軸于D（0，d），
由2

OC

=

OM

+

OD

，2

OD

=

ON

+

OC

，得

MC

=

CD

，

ND

=

DC

，
即C、D為線段MN的三等分點．
由y=kx+m，取y=0，得c=-

m

k

，即C（-

m

k

，0），
取x=0，得d=m，即D（0，m）．
聯(lián)立

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0  ①．
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，
若C、D為線段MN的三等分點，則-

4km

1+2k2

=-

m

k

，解得：k2=

1

2

，k=±

2

2

．
當k=

2

2

時，方程①化為2x2+2

2

mx+2m2-2=0．
解得：x1=

- 2 m- 4-2m2

2

，x2=

- 2 m+ 4-2m2

2

．
由

- 2 m- 4-2m2

2

=-2

m

2 2

，解得：m=±

5

5

．
同理求得當k=

2

2

時，m=±

5

5

．
∴滿足條件的直線l存在，方程為：y=±

2

2

+

5

5

或y=±

2

2

x-

5

5

．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了利用平面向量求解與圓錐曲線有關的問題，考查了數(shù)學轉化思想方法，是壓軸題．