已知函數(shù)f(x)=
3xa
-2x2+Inx
,其中a為常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù).
(I)若a=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
分析:(I)由a=1得f(x)的解析式,求導,令f′(x)>0,令f′(x)<0分別得出x的取值范圍,即f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)由函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),得f′(x)≥0或f′(x)≤0,分離出a,把右邊看為函數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)性得最值,得關于a的不等式,求解得a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)若a=1時,f(x)=3x-2x2+lnx,定義域為(0,+∞)
f′(x)=
1
x
-4x+3=
-4x2+3x+1
x
=
-(4x+1)(x-1)
x
(x>0)(3分)
令f'(x)>0,得x∈(0,1),令f'(x)<0,得x∈(1,+∞),
函數(shù)f(x)=3x-2x2+lnx單調(diào)增區(qū)間為(0,1),
函數(shù)f(x)=3x-2x2+lnx單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞).(6分)
(Ⅱ).f′(x)=
3
a
-4x+
1
x
,
若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),
f′(x)=
3
a
-4x+
1
x
在[1,2]
f′(x)=
3
a
-4x+
1
x
≥0
f′(x)=
3
a
-4x+
1
x
≤0
恒成立.
f′(x)=
3
a
-4x+
1
x
≥0
f′(x)=
3
a
-4x+
1
x
≤0
(8分)
3
a
-4x+
1
x
≥0
3
a
-4x+
1
x
≤0
在[1,2]恒成立.
3
a
≥4x-
1
x
3
a
≤4x-
1
x

h(x)=4x-
1
x
,因函數(shù)h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增.
所以
3
a
≥h(2)
3
a
≤h(1)
3
a
15
2
3
a
≤3
,解得a<0或0<a≤
2
5
或a≥1(12分)
點評:本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,和其逆問題,由單調(diào)性來確定導數(shù)非負或非正,分離參數(shù),利用函數(shù)的思想,求最值,得關于a的不等式.
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已知函數(shù)f(x)=
3-x
+
1
x+2
的定義域為集合A,B={x丨m<x-m<9}.
(1)若m=0,求A∩B,A∪B;
(2)若A∩B=B,求所有滿足條件的m的集合.

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已知函數(shù)f(x)=
3-x
+
1
x+2
的定義域為集合A,B={x|x<a}.
(1)若A⊆B,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若全集U={x|x≤4},a=-1,求?UA及A∩(?UB).

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已知函數(shù)f(x)=
3-ax
a-1
(a≠1)在區(qū)間(0,4]上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.
(1)當x∈[1,4]時,求函數(shù)h(x)=[f(x)+1]•g(x)的值域;
(2)如果對任意的x∈[1,4],不等式f(x2)•f(
x
)>k•g(x)
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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