Question

3．如圖，AB是圓O的直徑，C是半徑OB的中點(diǎn)，D是OB延長線上一點(diǎn)，且BD=OB，直線MD與圓O相交于點(diǎn)M，T（不與A，B重合），DN與圓O相切于點(diǎn)N，連結(jié)MC，MB，OT
（1）求證：$\frac{DT}{DO}=\frac{DC}{DM}$；
（2）若∠BMC=40°，試求∠DOT的大�。�

Answer 1

分析 （1）利用切割弦定理求得DT•DM=DB•DA，再由圓的半徑間的關(guān)系得到DB•DA=DO•DC，等量代換得答案；
（2）由（1）結(jié)合∠TDO=∠CDM，得到△DTO∽△DCM，則有∠DOT=∠DMC．最后根據(jù)圓周角定理得∠DOT的大小．

解答 證明：（1）∵M(jìn)D與圓O相交于點(diǎn)T
∴由切割線定理DN²=DT•DM，DN²=DB•DA，
得DT•DM=DB•DA，
設(shè)半徑OB=r（r＞0），
∵BD=OB，且$BC=OC=\frac{r}{2}$，
∴DB•DA=r•3r=3r²，$DO•DC=2r•\frac{3r}{2}=3{r^2}$，
∴DT•DM=DO•DC，
則$\frac{DT}{DO}=\frac{DC}{DM}$；
（2）由（1）可知，DT•DM=DO•DC，且∠TDO=∠CDM，
故△DTO∽△DCM，
∴∠DOT=∠DMC．
根據(jù)圓周角定理得，∠DOT=2∠DMB，則∠BMC=∠DMB=40°，
∴∠DOT=80°．

點(diǎn)評 本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查了切割弦定理的應(yīng)用，訓(xùn)練了三角形相似的判定方法，是中檔題．