Question

過雙曲線的左焦點F₁且與雙曲線的實軸垂直的直線交雙曲線于A，B兩點，若在雙曲線虛軸所在直線上存在一點C，使

AC

•

BC

=0，則雙曲線離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設雙曲線的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1=1，（a＞0，b＞0），依題意知當點C在坐標原點時，∠ACB最大，∠AOF₁≥45°，利用tan∠AOF₁=

|FA|

|OF|

=

b2 a

c

=

b2

ac

=

c2-a2

ac

≥1，即可求得雙曲線離心率e的取值范圍．

解答： 解：設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1=1，（a＞0，b＞0），
∵雙曲線關(guān)于x軸對稱，且直線AB⊥x軸，設左焦點F₁（-c，0），則A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），
∵△ABC為直角三角形，
依題意知，當點C在坐標原點時，∠ACB最大，
∴∠AOF₁≥45°，
∴tan∠AOF₁=

|FA|

|OF|

=

b2 a

c

=

b2

ac

=

c2-a2

ac

≥1，
整理得：（

c

a

）²-

c

a

-1≥0，即e²-e-1≥0，
解得：e≥

5 +1

2

．
即雙曲線離心率e的取值范圍為[

5 +1

2

，+∞）．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，分析得到當點C在坐標原點時，∠ACB最大是關(guān)鍵，得到∠AOF₁≥45°是突破口，屬于中檔題．