Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₅=9，a₇=13，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1（n∈N⁺），
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n+b_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．求證：T_n≥2ⁿ．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1（n∈N⁺），當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （1）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，∵a₅=9，a₇=13，∴

a1+4d=9 a1+6d=13

，解得d=2，a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1（n∈N⁺），
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=2-1=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1．
又b₁=1 也適合上式，
∴數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式為bn=2n-1．
（2）證明：∵c_n=a_n+b_n=（2n-1）+2^n-1．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=

n(1+2n-1)

2

+

2n-1

2-1

=n²+2ⁿ-1．
∴Tn-2n=n²-1≥0，
∴Tn≥2n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．