Question

已知數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n滿足T_n=2b_n-2．
（1）求{b_n}的通項；
（2）若{a_n}滿足a₁=1，

an+1

n+1

-

an

n

=1，求數(shù)列{b_n

an

}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“n=1時，b₁=T₁；n≥2，b_n=T_n-T_n-1”，轉化為等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用等差數(shù)列的通項公式可得：

an

n

，可得bn

an

=n•2ⁿ，再利用“錯位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）∵T_n=2b_n-2，①
∴當n≥2時，T_n-1=2b_n-1-2，②
∴由①-②得b_n=2b_n-2b_n-1（n≥2），
∴b_n=2b_n-1，
又當n=1時，①可化為b₁=2b₁-2，解得b₁=2．
∴bn=2×2n-1=2n．
（2）∵

an+1

n+1

-

an

n

=1，a₁=1，
∴數(shù)列{

an

n

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

an

n

=1+(n-1)×1=n，
∴an=n2，
∴bn

an

=2n•

n2

=n•2n，
設S_n為數(shù)列{bn

an

}的前n項和，
則S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ…③
2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹…④
③-④得，-Sn=21+22+23+…+2n-n×2n+1=

2×(1-2n)

1-2

-n×2n+1=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2，
即數(shù)列{bn

an

}的前n項為（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查了遞推式的應用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．