Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ln（x+a）+b，g（x）=x³
（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是x+y=0，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，求證：f（x）＜g（x）；
（Ⅲ）證明：對于任意的正整數(shù)n，不等式1+$\frac{1}{{e}^{4}}$+$\frac{1}{{e}^{18}}$+…+$\frac{1}{{e}^{（n-1{）n}^{2}}}$＜$\frac{n（n+3）}{2}$成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（0）=-1，f（0）=0，求出a，b的值即可；
（2）先求出f（x）的表達(dá)式，令g（x）=f（x）-x³在（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而得證；
（3）由（2）可知x²-x³＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），變形為e（1-x）x2＜x+1  （x∈（0，+∞）），相加計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵f（0）=-lna+b=0，∴l(xiāng)na=b，
而f′（x）=2x-$\frac{1}{x+a}$，
f′（0）=-$\frac{1}{a}$=-1，解得：a=1，
∴b=ln1=0；
（2）由（1）得：f（x）=x²-ln（x+1），g（x）=x³，
令h（x）=f（x）-x³=-x³+x²-ln（x+1），
則g′（x）=-3x²+2x-$\frac{1}{x+1}$=-$\frac{{3x}^{3}{+（x-1）}^{2}}{x+1}$，
顯然，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又因?yàn)間（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有g(shù)（x）＜g（0）=0，
即f（x）-x³＜0恒成立，故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有f（x）＜x³．
（3）由（2）可知x²-x³＜lnx＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），
所以ex²-x³＜eln（x+1），即e（1-x）x²＜x+1（x∈（0，+∞）），
當(dāng)x取自然數(shù)時(shí)，有e${\;}^{（1-n）{n}^{2}}$＜n+1（n∈N^*），
所以e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…+e${\;}^{（1-n）{n}^{2}}$
＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）
=1×n+1+2+3+4+…+n
=n+$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n（n+3）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運(yùn)算能力．