Question

6．已知角A、B、C是△ABC的三內(nèi)角．
（1）若tanA，tanB，tanC均有意義，證明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
（2）若tanA，tanB，tanC為連續(xù)的正整數(shù)，最大邊c的長(zhǎng)為100，求邊長(zhǎng)a和△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由三角形的內(nèi)角和以及兩角和的正切公式變形可得tanA+tanB=-tanC（1-tanAtanB），整體代入可證；
（2）可設(shè)tanA=n-1，tanB=n，tanC=n+1，其中n為大于等于2的正整數(shù)，由（1）的結(jié)論解n值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinA和sinB，sinC=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，由正弦定理和△ABC的面積公式可得．

解答 解：（1）∵角A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，∴C=π-（A+B），
由兩角和的正切公式可得tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB），
∴tanA+tanB+tanC=-tanC（1-tanAtanB）+tanC
=tanC（-1+tanAtanB+1）=tanAtanBtanC；
（2）∵tanA，tanB，tanC為連續(xù)的正整數(shù)，
故可設(shè)tanA=n-1，tanB=n，tanC=n+1，其中n為大于等于2的正整數(shù)，
由（1）可得（n-1）n（n+1）=n-1+n+n+1，解得n=2，
故tanA=1，tanB=2，tanC=3，∴sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinB=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinC=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
又∵最大邊c的長(zhǎng)為100，∴由正弦定理可得a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{100\sqrt{5}}{3}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{10000}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正切公式，涉及正弦定理解三角形和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬中檔題．