Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1 ， D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D 不同于點C），且AD⊥DE，F為B1C1的中點．求證：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直線A1F∥平面ADE．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，

∵AD平面ABC，

∴AD⊥CC1

又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1內的相交直線

∴AD⊥平面BCC1B1，

∵AD平面ADE

∴平面ADE⊥平面BCC1B1

（2）解：∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F為B1C1的中點

∴A1F⊥B1C1，

∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，

∴A1F⊥CC1

又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1內的相交直線

∴A1F⊥平面BCC1B1

又∵AD⊥平面BCC1B1，

∴A1F∥AD

∵A1F平面ADE，AD平面ADE，

∴直線A1F∥平面ADE

【解析】（1）根據三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，從而AD⊥CC1 ， 結合已知條件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1內的相交直線，得到AD⊥平面BCC1B1 ， 從而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先證出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1 ， 再用類似（1）的方法，證出A1F⊥平面BCC1B1 ， 結合AD⊥平面BCC1B1 ， 得到A1F∥AD，最后根據線面平行的判定定理，得到直線A1F∥平面ADE．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．