Question

18．若A_n和B_n分別表示數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項(xiàng)的和，對(duì)任意正整數(shù)n，a_n=2（n+1），3A_n-B_n=4n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；    
（2）記c_n=$\frac{2}{{{A_n}+{B_n}}}$，求{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n=2（n+1）可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為4、公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算可知A_n=n²+3n，利用3A_n-B_n=4n可知B_n=3n²+5n，分n=1與n≥2兩種情況計(jì)算可知b_n=6n+2；    
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知c_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵對(duì)任意正整數(shù)n，a_n=2（n+1），
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為4、公差為2的等差數(shù)列，
∴A_n=$\frac{n（4+2n+2）}{2}$=n²+3n，
又∵3A_n-B_n=4n，
∴B_n=3A_n-4n=3n²+5n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=B_n-B_n-1=（3n²+5n）-[3（n-1）²+5（n-1）]=6n+2，
又∵b₁=3+5=8滿足上式，
∴b_n=6n+2；    
（2）由（1）可知，A_n+B_n=n²+3n+3n²+5n=4n²+8n，
則c_n=$\frac{2}{{{A_n}+{B_n}}}$=$\frac{2}{4{n}^{2}+8n}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴S_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．