Question

17．已知過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線(xiàn)l被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為10，求直線(xiàn)l的方程為x-3y-6=0．

Answer 1

分析 當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線(xiàn)l的方程為x=-3，不合題意．當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：y=k（x+3）-3，求出圓x²+y²+4y-21=0的圓心、半徑及圓心（0，-2）到直線(xiàn)l：y=k（x+3）-3的距離，根據(jù)過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線(xiàn)l被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為10，由勾股定理能求出直線(xiàn)l．

解答 解：當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線(xiàn)l的方程為x=-3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+4y-21=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)l：x=-3被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為4，不合題意．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：y=k（x+3）-3，
圓x²+y²+4y-21=0的圓心（0，-2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+84}$=5，
圓心（0，-2）到直線(xiàn)l：y=k（x+3）-3的距離d=$\frac{|0+2+3k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線(xiàn)l被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為10，
∴由勾股定理得：${r}^{2}=uvdqhz9^{2}+（\frac{10}{2}）^{2}$，即25=$\frac{（3k-1）^{2}}{{k}^{2}+1}$+25，
解得k=$\frac{1}{3}$，∴直線(xiàn)l：y=$\frac{1}{3}$（x+3）-3，整理，得x-3y-6=0．
故答案為：x-3y-6=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓、直線(xiàn)方程的性質(zhì)及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的合理運(yùn)用．