Question

12．設(shè)點(diǎn)A₁（-$\sqrt{2}$，0）和點(diǎn)A₂（$\sqrt{2}$，0），直線A₁M、A₂M相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-$\frac{1}{2}$．設(shè)M的軌跡為C，過(guò)點(diǎn)F（1，0）作直線l交C于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求|PQ|的最小值；
（3）是否存在點(diǎn)N，使得以線段PQ為直徑的圓過(guò)該定點(diǎn)，若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，求得A₁M、A₂M斜率．根據(jù)${k}_{{A}_{1}M}$•${k}_{{A}_{2}M}$-=$\frac{1}{2}$，整理即可求得M的軌跡方程；
（2）分類當(dāng)斜率不存在，求得|PQ|的值，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)出P和Q的坐標(biāo)及直線l的方程，代入橢圓方程，即可求得關(guān)于x的一元二次方程，求得x₁+x₂和x₁•x₂的表達(dá)式，根據(jù)弦長(zhǎng)公式及基本不等式的性質(zhì)，即可求得|PQ|；
（3）假設(shè)存在，由橢圓的性質(zhì)，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)（n，0），當(dāng)斜率存在時(shí)，由韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁•x₂的表達(dá)式，進(jìn)而求得y₁•y₂值，求得向量$\overrightarrow{NP}$和$\overrightarrow{NQ}$，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$的值，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=0，方程無(wú)解，點(diǎn)N不存在．

解答 解：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），
則${k}_{{A}_{1}M}$=$\frac{y}{x+\sqrt{2}}$（x≠-$\sqrt{2}$），${k}_{{A}_{2}M}$=$\frac{y}{x-\sqrt{2}}$（x≠$\sqrt{2}$），
由已知得${k}_{{A}_{1}M}$•${k}_{{A}_{2}M}$=$\frac{y}{x+\sqrt{2}}$•$\frac{y}{x-\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$（x≠±$\sqrt{2}$），（1分）
化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$（x≠±$\sqrt{2}$）．（3分）
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，|PQ|=$\sqrt{2}$，（4分）
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l的方程為：y=k（x-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$得，（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，（6分）
|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2{k}^{2}+1}$=$\sqrt{2}$（1+$\frac{1}{2{k}^{2}+1}$）＞$\sqrt{2}$，（7分）
綜上所述，|PQ|的最小值是$\sqrt{2}$．                             （8分）
（3）假設(shè)點(diǎn)N存在，由橢圓的對(duì)稱性得，則點(diǎn)N一定在x軸上，不妨設(shè)點(diǎn)N（n，0），
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由（Ⅱ）得x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=-$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
$\overrightarrow{NP}$=（x₁-n，y₁），$\overrightarrow{NQ}$=（x₂-n，y₂），
∴$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=（x₁-n）•（x₂-n）+y₁•y₂，
=x₁•x₂-n（x₁+x₂）+n²+y₁•y₂，
=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$-n•$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$+n²-$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
=$\frac{（2{n}^{2}-4n+1）•{k}^{2}+{n}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$．（10分）
對(duì)于任意的k，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{n}^{2}-4n+1=0}\\{{n}^{2}-2=0}\end{array}\right.$，（11分）
Q方程組無(wú)解，
∴點(diǎn)N不存在．
綜上所述，不存在符合條件的點(diǎn)N．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系解，注意表示出${k}_{{A}_{1}M}$和${k}_{{A}_{2}M}$，題時(shí)要注意弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式、均值定理等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用，屬于難題．