Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=（1+a-ax）lnx-b（x-1），其中a，b是實(shí)數(shù)．已知曲線y=f（x）與x軸相切于點(diǎn)（1，0）．
（1）求常數(shù)b的值；
（2）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)條件知f′（1）=0，即可求常數(shù)b的值；
（2）求得f′（x）=-alnx+$\frac{1+a-ax}{x}$-1，x∈[1，2]，f″（x）=-$\frac{a}{x}$-$\frac{1+a}{{x}^{2}}$=-$\frac{ax+a+1}{{x}^{2}}$，分類討論當(dāng)a≤-1時(shí)，當(dāng)a≥0時(shí)，當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（1+a-ax）lnx-b（x-1）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=-alnx+$\frac{1+a-ax}{x}$-b，
因?yàn)閥=f（x）與x軸相切于（1，0），
故f'（1）=0，即-aln1+1-b=0，
解得b=1；
（2）由f′（x）=-alnx+$\frac{1+a-ax}{x}$-1，x∈[1，2]，
f″（x）=-$\frac{a}{x}$-$\frac{1+a}{{x}^{2}}$=-$\frac{ax+a+1}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a≤-1時(shí)，由于x∈[1，2]，有f″（x）≥0，
于是f'（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，從而f'（x）≥f'（1）=0，
因此f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，即f（x）≥f（1）=0，
而且僅有f（1）=0，符合；
②當(dāng)a≥0時(shí)，由于x∈[1，2]，有f″（x）＜0，
于是f'（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，從而f'（x）≤f'（1）=0，
因此f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，即f（x）≤f（1）=0不符；
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，令m=min{1，-$\frac{a+1}{a}$}，當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，f″（x）＜0，
于是f'（x）在x∈[1，m]上單調(diào)遞減，從而f'（x）≤f'（1）=0，
因此f（x）在x∈[1，m]上單調(diào)遞減，即f（x）≤f（1）=0，僅有f（1）=0，不符．
綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查單調(diào)性的運(yùn)用，以及分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．