Question

已知函數(shù)f（x）=ax-ln（2x+1），其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=2x時(shí)，求a值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的圖象總是在直線的上方，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）f′（x）=a-，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=2x，
∴f′（0）=a-2=2，
∴a=4．
（II）由已知得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′（x）=a-，
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-，+∞）上單調(diào)遞減，
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，解得．f′（x）、f（x）隨x的變化情況如下表

x
f′（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

從上表可知
當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增．
綜上所述：
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增．
（III）函數(shù)f（x）的圖象總是在直線的上方，
即ax-ln（2x+1）＞在（-，+∞）上恒成立，
即a＜在（-，+∞）上恒成立．
設(shè)G（x）=，則G′（x）=，
令G′（x）＞0得x＞，G′（x）＜0得-＜x＜，G′（x）=0得x=，
∴G（x）在x=處取得最小值G（）=-．
∴a＜-．
∴a的取值范圍：a＜-．
分析：（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，建立等式關(guān)系，再根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)圖象建立等式關(guān)系，解方程組即可求出a；
（II）由（Ⅰ）得f'（x），令f′（x）＞0和令f′（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（III）函數(shù)f（x）的圖象總是在直線的上方，即ax-ln（2x+1）＞在（-，+∞）上恒成立，
即a＜在（-，+∞）上恒成立．構(gòu)造函數(shù)G（x）=，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，即可得a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分類討論思想，屬于中檔題．