Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，設(shè)b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（3）設(shè)c_n=

2bn

an•an+1

，
①判定數(shù)列{c_n}的單調(diào)性，并求數(shù)列{c_n}的最大值．
②求

lim

n→∞

（c₁+c₂+…+c_n）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式配方變形得到數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）由{a_n+1}為等比數(shù)列，求其通項公式后可得數(shù)列{a_n}的通項公式，代入b_n=log₂（a_n+1）得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）①由c_n=

2bn

an•an+1

得到c_n+1，作比證明數(shù)列{c_n}單調(diào)遞減并求其最大值；
②利用裂項相消法求得c₁+c₂+…+c_n，則

lim

n→∞

（c₁+c₂+…+c_n）可求．

解答： （1）證明：由S_n=2a_n-n，
當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-1，得a₁=1．
∵S_n=2a_n-n，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1．
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）得an+1=2n，
∴an=2n-1，n∈N*．
∴bn=log2(an+1)=log22n=n；
（3）解：∵c_n=

2bn

an•an+1

，
∴cn+1=

2bn+1

an+1an+2

，
①∵

cn+1

cn

=

2bn+1 an+1an+1

2bn anan+1

=

an

an+1

•2bn+1-bn=

2n-1

2n+1-1

•2=1-

1

2n+1-1

＜1，
∴數(shù)列{c_n}單調(diào)遞減．
當(dāng)n=1時數(shù)列{c_n}的最大值為c1=

2

1×3

=

2

3

．
②由cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴c₁+c₂+…+c_n=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=1-

1

2n+1-1

．
∴

lim

n→∞

（c₁+c₂+…+c_n）=

lim

n→∞

(1-

1

2n+1-1

)=1．

點(diǎn)評：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列極限的求法，是壓軸題．