Question

10．在?ABCD中，AB=2，∠DAB=$\frac{2}{3}$π，E是BC的中點，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=2$，則$|\overrightarrow{AD}|$=4．

Answer 1

分析 設(shè)|$\overrightarrow{AD}$|=x＞0，由向量的三角形法則可得$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$代入$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=2，利用數(shù)量積的運算性質(zhì)展開即可求得結(jié)果．

解答 解：如圖所示，平行四邊形ABCD中，AB=2，∠DAB=$\frac{2}{3}$π，E是BC的中點，
設(shè)|$\overrightarrow{AD}$|=x＞0，
∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x•2•cos$\frac{2π}{3}$-2²
=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-4=2，
化為x²-x-12=0，
∵x＞0，解得x=4，
即AD=4．
答案為：4

點評 本題考查了平面向量的三角形法則以及數(shù)量積的運算問題，是基礎(chǔ)題．