Question

正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：

S

2 n

-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令b_n=

an

2n

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：對(duì)任意的n∈N^*，都有T_n＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足

S

2 n

-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，可得(Sn-n2-n)(Sn+1)=0，S_n=n²+n．利用遞推式即可得出．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得出T_n，即可證明．

解答： （1）解：∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足

S

2 n

-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，
∴(Sn-n2-n)(Sn+1)=0，
∴S_n=n²+n．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=(n-1)2+(n-1)，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，也成立．
∴a_n=2n．
（2）證明：b_n=

an

2n

=

n

2n-1

，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=

1

1

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
∴

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2+n

2n

，
∴T_n=4-

2+n

2n-1

＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．