Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在直線(xiàn)y=x+

1

2

上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）b_n=3 an+

1

2

，T_n數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，試求T_n
（3）C_n=a_nb_n，R_n是數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和，試求R_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由點(diǎn)（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在直線(xiàn)y=x+

1

2

上，可得

Sn

n

=n+

1

2

，Sn=n2+

1

2

n．利用遞推式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（3）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在直線(xiàn)y=x+

1

2

上，
∴

Sn

n

=n+

1

2

，∴Sn=n2+

1

2

n．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=(n-1)2+

1

2

（n-1）．
∴a_n=S_n-S_n-1=n2+

1

2

n-[(n-1)2+

1

2

(n-1)]=2n-

1

2

．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+

1

2

=

3

2

，也滿(mǎn)足上式．
∴a_n=2n-

1

2

．
（2）b_n=3 an+

1

2

=3²ⁿ=9ⁿ，
T_n=

9(9n-1)

9-1

=

9

8

(9n-1)．
（3）C_n=a_nb_n=

4n-1

2

•9n，
∴R_n=

3

2

•9+

7

2

×92+…+

4n-1

2

×9n，
9R_n=

3

2

•92+

7

2

×92+…+

4n-5

2

×9n+

4n-1

2

×9n+1，
∴-8R_n=

3

2

×9+2×9²+2×9³+…+2×9ⁿ-

4n-1

2

×9n+1=2×

9×(9n-1)

9-1

-

9

2

-

4n-1

2

×9n+1=

(3-8n)

4

×9n+1-

27

4

，
∴R_n=

8n-3

32

×9n+1+

27

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．