Question

20．已知x=$\frac{π}{6}$是函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）圖象的一條
對(duì)稱軸．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；          
（2）求函數(shù)f（-x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）作出函數(shù)f（x）在x∈[0，π]上的圖象簡(jiǎn)圖（列表，畫圖）．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性可得2×$\frac{π}{6}$+ϕ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，又0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，可求ϕ，即可解得函數(shù)解析式；
（2）先求函數(shù)解析式f（-x）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$），由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（3）用五點(diǎn)法即可作圖得解．

解答 解：（1）∵$x=\frac{π}{6}$是函數(shù)f（x）=sin（2x+ϕ）$（0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$圖象的一條對(duì)稱軸．
∴2×$\frac{π}{6}$+ϕ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴ϕ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
又0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，
∴ϕ=$\frac{π}{6}$，
∴可得：$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$；
（2）∵f（-x）=sin（-2x+$\frac{π}{6}$）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5}{6}π]，k∈Z$．
（3）列表

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
$2x+\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{13π}{6}$
f（x）	$\frac{1}{2}$	1	0	-1	0	$\frac{1}{2}$

f（x）在x∈[0，π]上的圖象簡(jiǎn)圖如下圖所示：

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性，考查了五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，屬于基本知識(shí)的考查．