Question

19．已知函數(shù)f（x）=-x³+2ax²-x-3在R上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）
• B． [-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• C． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）

Answer 1

分析 先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因為函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范圍即可．

解答 解：f（x）=-x³+2ax²-x-3的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-3x²+4ax-1，
∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+4ax-1≤0恒成立，
∴△=16a²-12≤0，解得-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴實數(shù)a的取值范圍是得[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，以及恒成立問題的解法，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．