Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過左焦點F且垂直于x軸的弦長為1．
（ I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）點P（m，0）為橢圓C的長軸上的一個動點，過點P且斜率為$\frac{1}{2}$的直線l交橢圓C于A，B兩點，問：|PA|²+|PB|²是否為定值？若是，求出這個定值并證明，否則，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓長軸長設(shè)出橢圓方程，利用點在橢圓上，求出b，即可得到橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)出P，直線l的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)出A、B坐標(biāo)，
通過根與系數(shù)的關(guān)系，計算|PA|²+|PB|²，化簡求解即可．

解答 解：（ I）由過左焦點F且垂直于x軸的弦長為1，
可知橢圓C過點$（-c，\frac{1}{2}）$，∴$\frac{c^2}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²；
三式聯(lián)立解得$a=2，b=1，c=\sqrt{3}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（ II）設(shè)P（m，0）（且-2≤m≤2），由已知，直線l的方程是y=$\frac{1}{2}$（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得，2x²-2mx+m²-4=0，（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程（*）的兩個根，
所以有，x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
所以，|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=（x₁-m）²+$\frac{1}{4}$（x₁-m）²+（x₂-m）²+$\frac{1}{4}$（x₂-m）²
=$\frac{5}{4}$[（x₁-m）²+（x₂-m）²]
=$\frac{5}{4}$[x₁²+x₂²-2m（x₁+x₂）+2m²]
=$\frac{5}{4}$[（x₁+x₂）²-2m（x₁+x₂）-2x₁x₂+2m²]
=$\frac{5}{4}$[m²-2m²-（m²-4）+2m²]=5（為定值）；
所以，|PA|²+|PB|²為定值．

點評 本題考查橢圓方程的求法以及直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了定值問題的化簡求解方法，是綜合題．