Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${a_n}={S_n}•{S_{n-1}}（n≥2，{S_n}≠0），{a_1}=\frac{2}{9}$．
（1）求證：$\{\frac{1}{S_n}\}$為等差數(shù)列；
（2）求滿足a_n＞a_n-1的自然數(shù)n的集合．

Answer 1

分析 （1）由${a_n}={S_n}•{S_{n-1}}（n≥2，{S_n}≠0），{a_1}=\frac{2}{9}$．可得S_n-S_n-1=S_n•S_n-1，兩邊同除以S_n•S_n-1，可得$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，即可證明．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{11-2n}{2}$，可得S_n=$\frac{2}{11-2n}$．可得a_n=$\frac{2}{11-2n}•\frac{2}{13-2n}$（n≥2）．n=1時(shí)，滿足a₂＞a₁．n≥2，由a_n+1＞a_n，可得f（n）=（9-2n）（11-2n）（13-2n）＞0，對(duì)n分類討論即可判斷出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵${a_n}={S_n}•{S_{n-1}}（n≥2，{S_n}≠0），{a_1}=\frac{2}{9}$．
∴S_n-S_n-1=S_n•S_n-1，可得$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，即$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-1，
∴$\{\frac{1}{S_n}\}$為等差數(shù)列，公差為-1，首項(xiàng)為$\frac{9}{2}$．
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{9}{2}$-（n-1）=$\frac{11-2n}{2}$，可得S_n=$\frac{2}{11-2n}$．
∴a_n=$\frac{2}{11-2n}•\frac{2}{13-2n}$（n≥2）．
n=1時(shí)，由a₂=$\frac{4}{7×9}$，a₁=$\frac{2}{9}$，滿足a₂＞a₁，因此n=1．
n≥2，由a_n+1＞a_n，可得$\frac{2}{9-2n}$$•\frac{2}{11-2n}$＞$\frac{2}{11-2n}•\frac{2}{13-2n}$，
化為：f（n）=（9-2n）（11-2n）（13-2n）＞0，
2≤n≤4時(shí)，9-2n，11-2n，13-2n＞0，滿足f（n）＞0．
n=5，f（n）＜0，舍去．
n=6，f（n）＞0．
n≥7時(shí)，f（n）＜0，舍去．
綜上可得：滿足a_n＞a_n-1的自然數(shù)n的集合為{1，2，3，4，6}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．