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11.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且有a2+b2-c2=4S△ABC
(1)求角C的大��;
(2)若c=2,求a-22b的取值范圍.

分析 (1)運(yùn)用三角形的面積公式和余弦定理,可得cosC=sinC,由同角的商數(shù)關(guān)系和特殊角的函數(shù)值,可得角C;
(2)運(yùn)用正弦定理和兩角差的正弦公式,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性,即可得到所求范圍.

解答 解:(1)由a2+b2-c2=4S△ABC得:a2+b2-c2=4×12absinC=2absinC,
a2+2c22ab=sinC,即cosC=sinC,即為tanC=1,
又角C為△ABC的內(nèi)角,所以∠C=45°;
(2)由正弦定理得:asinA=sinB=csinC=222=2,
可得a=2sinA,b=2sinB,
所以a-22b=2sinA-2sinB=2sin A-2sin(\frac{3π}{4}-A)
=2sinA-\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}cosA+\frac{\sqrt{2}}{2}sinA)=sinA-cosA
=\sqrt{2}sin(A-\frac{π}{4}),
又因?yàn)?<A<\frac{3}{4}π,所以-\frac{π}{4}<A-\frac{π}{4}\frac{π}{2},
可得-\frac{\sqrt{2}}{2}<sin(A-\frac{π}{4})<1,
所以-1<\sqrt{2}sin(A-\frac{π}{4})<\sqrt{2},
故a-\frac{\sqrt{2}}{2}b的取值范圍是(-1,\sqrt{2}).

點(diǎn)評 本題考查解三角形中的正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用,考查三角函數(shù)的恒等變換,以及正弦函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用,屬于中檔題.

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