Question

11．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且有a²+b²-c²=4S_△ABC．
（1）求角C的大��；
（2）若c=$\sqrt{2}$，求a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用三角形的面積公式和余弦定理，可得cosC=sinC，由同角的商數(shù)關(guān)系和特殊角的函數(shù)值，可得角C；
（2）運(yùn)用正弦定理和兩角差的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由a²+b²-c²=4S_△ABC得：a²+b²-c²=4×$\frac{1}{2}$absinC=2absinC，
即$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=sinC，即cosC=sinC，即為tanC=1，
又角C為△ABC的內(nèi)角，所以∠C=45°；
（2）由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
可得a=2sinA，b=2sinB，
所以a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=2sinA-$\sqrt{2}$sinB=2sin A-$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-A）
=2sinA-$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA）=sinA-cosA
=$\sqrt{2}$sin（A-$\frac{π}{4}$），
又因?yàn)?＜A＜$\frac{3}{4}$π，所以-$\frac{π}{4}$＜A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
可得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A-$\frac{π}{4}$）＜1，
所以-1＜$\sqrt{2}$sin（A-$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$，
故a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b的取值范圍是（-1，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形中的正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．