Question

10．求點M（1，-1，2）到直線L：$\left\{\begin{array}{l}{x-y-z+1=0}\\{2x-y+z-2=0}\end{array}\right.$ 的距離．

Answer 1

分析 在直線L上任取兩點A，B，計算$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AB}$，及其夾角，從而得出M到AB的距離．

解答 解：∵直線L方程：$\left\{\begin{array}{l}{x-y-z+1=0}\\{2x-y+z-2=0}\end{array}\right.$，
∴A（1，1，1），B（3，4，0）是直線L上兩點，
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，3，-1），$\overrightarrow{AM}$=（0，-2，1），
∴cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AM}|}$=-$\frac{\sqrt{70}}{10}$．
∴sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴M到直線L的距離d=|$\overrightarrow{AM}$|sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查了空間向量與空間距離的計算，屬于中檔題．