Question

1．如圖，圓M與圓N交于A、B兩點，以A為切點作兩圓的切線分別交圓M、圓N于C、D兩點，延長DB、CB分別交圓M、圓N于E、F．已知DB=10、CB=5．
（Ⅰ）求AB的長；
（Ⅱ）求證：CF=DE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)弦切角定理，推導出△ABC∽△DBA，由此能求出AB的長．
（Ⅱ）根據(jù)切割線定理，推導出△ABC∽△DBA，得到得$\frac{AC}{DA}=\frac{AB}{DB}=\frac{{5\sqrt{2}}}{10}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{C{A^2}}}{{D{A^2}}}=\frac{1}{2}$，由此能求出$\frac{CF}{DE}=1$．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)弦切角定理，∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB…（1分）
∴△ABC∽△DBA…（2分），
則$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}$…（3分），
故AB²=BC•BD=50…（4分），
$AB=5\sqrt{2}$…（5分）
證明：（Ⅱ）根據(jù)切割線定理，知CA²=CB•CF，DA²=DB•DE…（6分）
兩式相除，得$\frac{{C{A^2}}}{{D{A^2}}}=\frac{CB}{DB}•\frac{CF}{DE}$（*）…（7分）
由△ABC∽△DBA，得$\frac{AC}{DA}=\frac{AB}{DB}=\frac{{5\sqrt{2}}}{10}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{C{A^2}}}{{D{A^2}}}=\frac{1}{2}$…（9分）
又$\frac{CB}{DB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，由（*）得$\frac{CF}{DE}=1$，CF=DE…（10分）

點評 本題考查線段長的求法，考查兩線段的比值的求法，解題時要認真審題，注意弦切角定理和切割線定理的合理運用．