Question

16．如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，H、G、I、J分別為AD、AF、BE、DE的中點，則將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐后，則異面直線GH與IJ所成的角的大小為（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 可根據(jù)條件畫出圖形，并可判斷該三棱錐為棱長等于底面邊長的正三棱錐，然后可分別用向量$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$表示出向量$\overrightarrow{GH}$和$\overrightarrow{IJ}$，從而可求出$\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{IJ}$，根據(jù)向量夾角的計算公式即可求出$cos＜\overrightarrow{GH}，\overrightarrow{IJ}＞$，從而得出異面直線所成的角．

解答 解：如圖，根據(jù)題意知，折后的三棱錐為棱長和底面邊長都相等的正三棱錐，設(shè)棱長為1，且：
$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}$；
$\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$；
且$|\overrightarrow{GH}|=\frac{1}{2}，|\overrightarrow{IJ}|=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{4}{\overrightarrow{AD}}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$；
∴$cos＜\overrightarrow{GH}，\overrightarrow{IJ}＞=\frac{\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{IJ}}{|\overrightarrow{GH}||\overrightarrow{IJ}|}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$；
∴直線GH與IJ所成的角的大小為$\frac{π}{3}$．
故選C．

點評 考查正三棱錐的定義，能根據(jù)條件畫出折疊后的圖形，以及向量加法的平行四邊形法則，向量減法的幾何意義，以及三角形中位線的性質(zhì)，向量夾角的余弦公式．